PROBLEMA: El
volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r
y longitud L está relacionado con la profundidad del líquido h por
$$V=\left[ { r }^{ 2 }{ cos }^{ -1 }\left( \frac { r-h }{ r
} \right) -\left( r-h\sqrt { 2rh-{ h }^{
2 } } \right) \right] L$$
Determine h para r = 2 m, L = 5 m y V = 8.5 m3.
(Ejercicio 8.8, tomado del
libro Métodos Numéricos para Ingenieros de Steven C. Chapra y Raymond P.
Canale. 5Ed. McGraw Hill. Mexico. 2007. Página 218)
SOLUCIÓN
Análisis de la situación
En primer lugar, es necesario
que sustituyamos los datos que nos dan en el enunciado en la ecuación
$$V=\left[ { r }^{ 2 }{ cos }^{ -1 }\left( \frac { r-h }{ r
} \right) -\left( r-h\sqrt { 2rh-{ h }^{
2 } } \right) \right] L,$$
es decir,
$$V=\left[ { 2 }^{ 2 }{ cos }^{ -1 }\left( \frac { 2-h }{ 2
} \right) -\left( 2-h\sqrt { 2*2*h-{ h
}^{ 2 } } \right) \right] * 5$$
$$8.5=20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-h }{ 2 } \right) -\left(
10-5h\sqrt { 4h-{ h }^{ 2 } } \right) $$
Como segundo, tenemos que determinar los valores de h para
los que se cumple la igualdad.
Una forma alterna de lograr lo mismo es construir una
función en una variable (h) a partir de la ecuación
$$8.5=20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-h }{ 2 } \right) -\left(
10-5h\sqrt { 4h-{ h }^{ 2 } } \right) $$
y determinar todos los interceptos con el eje horizontal.
Estos valores serían los valores de h para los cuales también se satisface la
ecuación original.
Construyamos la función a partir de la ecuación
simplificada:
$$8.5=20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-h }{ 2 } \right) -\left(
10-5h\sqrt { 4h-{ h }^{ 2 } } \right) $$
$$8.5-20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-h }{ 2 } \right) +\left(
10-5h\sqrt { 4h-{ h }^{ 2 } } \right)=0
$$
$$18.5-20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-h }{ 2 } \right) -5h\sqrt {
4h-{ h }^{ 2 } } =0 $$
Por último, tomemos el miembro izquierdo de la igualdad
como la función, es decir,
$$f(h)=18.5-20{ cos }^{ -1
}\left( \frac { 2-h }{ 2 } \right)
-5h\sqrt { 4h-{ h }^{ 2 } } $$
Listo ya tenemos la función.
Ahora, observemos la gráfica de f(h) para tener idea de
cuantos interceptos hay con el eje horizontal.
Por comodidad, cambiaré la variable ‘h’ por ‘x’, es decir,
la función quedaría
$$f(x)=18.5-20{ cos }^{ -1
}\left( \frac { 2-x }{ 2 } \right)
-5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } } $$
Ahora sí, veamos su gráfica:
Gráfica
1
Vemos en la Gráfica 1, que hay un único intercepto,
y lo podemos ubicar, por ejemplo, en el intervalo [0,10]. En teoría este sería
el valor de h que necesitamos encontrar.
Aplicación del método de punto fijo
Antes de usar el código que
implementa el método de punto fijo, es necesario que entendamos como se debe proceder
a la hora aplicar correctamente el método.
Pasos a seguir:
1.
Verificar que la función tenga intercepto con el eje horizontal. En nuestro
caso la función f(x) cumple con esto.
2. A
partir de f(x)=0, es necesario despejar una x de modo que nos quede en la forma x=g(x). Veamos la idea
con nuestra función:
$$f(x)=18.5-20{ cos }^{ -1
}\left( \frac { 2-x }{ 2 } \right)
-5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } }=0 $$
Quitar el término f(x) y despejar a x:
$$18.5-20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-x }{ 2 } \right) -5x\sqrt {
4x-{ x }^{ 2 } }=0 $$
$$-20{ cos }^{ -1 }\left(
\frac { 2-x }{ 2 } \right) = 5x\sqrt {
4x-{ x }^{ 2 } } - 18.5 $$
$${ cos }^{ -1 }\left( \frac { 2-x }{ 2 } \right) =\frac { 5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } }
-18.5 }{ -20 } $$
$$\frac { 2-x }{ 2 } =cos\left( \frac { 5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 }
} -18.5 }{ -20 } \right) $$
$$-x\quad =\quad 2cos\left( \frac { 5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } }
-18.5 }{ -20 } \right) -2$$
$$x\quad =\quad 2-2cos\left( \frac { 5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2 } }
-18.5 }{ -20 } \right) $$
Por lo tanto,
$$g(x)=\quad =\quad 2-2cos\left( \frac { 5x\sqrt { 4x-{ x }^{ 2
} } -18.5 }{ -20 } \right) $$
3.
g(x) debe satisfacer las condiciones del Teorema del Punto Fijo:
Teorema
del Punto Fijo
Si
g(x) es una función continua en [a,b] y los valores resultantes de g(x) están
en [a,b] para todo x en [a,b], entonces g(x) tiene por lo menos un punto fijo
en [a,b]. Si además, g’(x) existe
para todo x en (a,b) y |g’(x)| ≤ K
< 1 para todo x en (a,b), siendo K constante, entonces g(x) tiene un único
punto fijo a
en [a,b] y la sucesión {Xn}n definida mediante la fórmula
de iteración
Xn
= g(Xn-1), n=1,2,3,…
converge
a a, cualquiera que se X0 que
este en [a,b].
En otras palabras, para poder aplicar el método de punto
fijo sobre g(x), hay que verificar dos aspectos del teorema:
a) Que
g(x) sea continua en un intervalo [a,b].
b) Que
|g’(x)|
< 1 para todo x en (a,b).
Apoyémonos en la gráfica de g(x) para verificar estas dos
condiciones:
Gráfica
2
Al observar la Gráfica 2, notamos que no hay
interrupción o cortes en la gráfica de g(x) sobre el intervalo de [0,4]. Con la
mirada puesta en la solución general de nuestro problema, tomemos un intervalo
para g(x) que contenga el intercepto de f(x), y en el analicemos las
condiciones del teorema de punto fijo.
Hagamos un zoom a la gráfica
de f(x) en el intervalo [0,4] para elegir un intervalo para g(x) que nos
favorezca el análisis:
Gráfica
3
Observando la Gráfica 3, vemos que el intercepto de
f(x) lo podemos ubicar en el intervalo [0,1]. Tomemos este intervalo para
analizar las condiciones del teorema del punto fijo.
Análisis
de las condiciones del teorema del punto fijo
a) Verificar
que g(x) es continua en [0,1].
Comencemos con la función
coseno. Sabemos que la función coseno es continua en todos los números reales,
por lo tanto si hubiese un problema de continuidad, éste estaría en
$$\sqrt
{ 4x-{ x }^{ 2 } } $$
Pero sabemos también que esta
raíz está definida completamente en el intervalo de [0,4] y que allí no hay
discontinuidad.
En conclusión g(x) es continua
en [0,1], puesto que [0,1] está contenido en [0,4].
b) |g’(x)|
< 1 para todo x en (0,1).
Primero calculemos g’(x).
Usando los comandos syms, diff y simplify de Matlab podemos calcular la
derivada de g(x):
>> syms x
>> simplify(diff(2-2*cos((5*x*sqrt(4*x-x^2)-18.5)/(-20))))
ans =
-(x*sin((x*(-x*(x -
4))^(1/2))/4 - 37/40)*(x - 3))/(-x*(x - 4))^(1/2)
Luego |g’(x)| = abs(-(x*sin((x*(-x*(x - 4))^(1/2))/4 - 37/40)*(x -
3))/(-x*(x - 4))^(1/2))
Ahora grafiquemos a |g’(x)|:
Gráfica 4
En la Gráfica 4,
podemos observar que ninguno de los valores de |g’(x)| supera a 1, ni siquiera a 0.8.
Por lo tanto, podemos concluir que |g’(x)|<1
para todo x en (0,1).
Bien, hemos visto que la función g(x) satisface las
condiciones del teorema de punto fijo y con esto podemos concluir que g(x)
tiene un único punto fijo.
Ahora sí, determinemos este punto fijo usando el código en
Matlab que implementa el Método de Punto Fijo.
Aplicación
del Método del Punto Fijo
Para aplicar este método necesitamos la función g(x) y un
punto inicial. Según el teorema del punto fijo éste punto inicial puede ser
cualquier valor que este dentro del intervalo [0,1]. Tomemos a 0.1 como punto
inicial.
El código en Matlab que implementa el método de punto fijo
es:
fun=input('Ingrese la funcion g(x): ','s');
f=inline(fun);
xi=input('Ingrese valor inicial: ');
e=input('Ingrese porcentaje de error: ');
xa=f(xi);
ea=abs((xa-xi)/xa)*100;
while(ea>e)
xi=xa;
xa=f(xi);
ea=abs((xa-xi)/xa)*100;
end
fprintf('La raiz aproximada es: %12.10f \n',xa);
el cual he llamado puntoFijo.m.
Ejecutemos e ingresemos los datos requeridos:
>> puntoFijo
Ingrese la funcion g(x):
2-2*cos((5*x*sqrt(4*x-x^2)-18.5)/(-20))
Ingrese valor inicial: 0.1
Ingrese porcentaje de error: 10^(-10)
La raiz aproximada es:
0.5301496449
Por lo tanto, el valor de la profundidad que queríamos
determinar es h=0.5301496449 m.
Verifiquemos que efectivamente h=0.5301496449 es el valor
que estábamos buscando y lo haremos evaluándolo en f(x):
$$f(0.5301496449)=18.5-20{ cos }^{ -1 }\left( \frac {
2-0.5301496449 }{ 2 } \right) \\-5(0.5301496449)\sqrt { 4(0.5301496449)-{ 0.5301496449 }^{ 2 } } $$
$$f(x)=0$$
$$f(x)=0$$
Perfecto, esto nos permite concluir que la profundidad que
satisface los datos del enunciado del problema es h=0.5301496449
m.
Para aquellos que son fanáticos de Python, les dejo el
código del Método de Punto Fijo a continuación:
gx = input('Ingrese la funcion g(x): ')
x0 = float(input('Ingrese el valor inicial: '))
e = float(input('Ingrese porcentaje de error: '))
g = sympify(gx)
x1 = g.subs('x',x0)
em = abs((x1-x0)/x1)*100
while e<em:
if(g.subs('x',x1)==0):
em = 0
else:
x0 = x1
x1 =
g.subs('x',x0)
em =
abs((x1-x0)/x1)*100
print('La raiz aproximada es: ',x1)
Bueno, hemos llegado al final de esta entrada.
Espero les sirva de mucha ayuda.
sabrias hacer por falsa posición?
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